対数正規分布の導出

確率変数 $X$ の対数 $Y=\log X$ が正規分布に従うとき， $X$ は対数正規分布に従うという．
対数正規分布の密度関数はこれ．
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}x\sigma}\exp \left( -\frac{ (\log x -\mu )^2 }{ 2\sigma^2 }\right)$

導出は以下．
$f(x)=\frac{d}{dx}P(X<x)$
$=\frac{d}{dx}P(\exp(Y)<x)$
$=\frac{d}{dx}P(Y<\log(x))$
$=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}P(Y<\log(x))$
$=\frac{d\log x}{dx} \frac{d}{dy}P(Y<\log(x))$
$=\frac{1}{x}f(y)$